Родился в крестьянской семье в деревне Глубокий Ручей Вологодской губернии. Ранняя юность художника связана с Соловецким монастырем, куда он попал в 1881 года по родительскому обету. В 1886 году он поступил в рисовальную школу Общества поощрения художеств. За год он прошел весь курс и был зачислен вольнослушателем в Императорскую академию художеств. Занимался под руководством И.И. Шишкина и А.И. Куинджи.

В 1894 году будучи учеником Академии, молодой художник совершил первое продолжительное путешествие по Северной Двине, Белому морю и Северному Ледовитому океану, примкнув к экспедиции, снаряженной для поисков стоянки военно-морского флота на Мурмане. Из поездки в 1894 году он привёз около 150 этюдов, часть которых экспонировалась в 1897 году на академической выставке в Петербурге. В этом же году Александр Борисов за отличные познания в живописи и научных предметах был удостоен звания художника с правом преподавания рисования в учебных заведениях.

Александр Алексеевич Борисов принимал участие в выставках Академии художеств, Товарищества передвижных художественных выставок, Московского общества любителей художеств. В 1906 году художник принимал активное участие в создании «Северного кружка». Так же он являлся членом Общества Куинджи, Группы художников, Объединения художников-реалистов.

Кроме живописи А.А. Борисов писал путевые очерки - «У самоедов. От Пинеги до Карского моря», «В стране холода и смерти», «Великий Северо-Восточный путь. Великий речной путь из Сибири в Европу», «Обь-Мурманская железная дорога». В этих работах он пишет о природных богатствах края и о бедственном положении коренного населения.

В 1915-1916 годах Александр Алексеевич разработал проект строительства Обь-Мурманской железной дороги, строительство которой было поддержано царским правительством, а также сменившим его после революции Совнаркомом.